8.1. Criterio de Chauvenet[1]#
Es posible que al realizar mediciones de una cantidad física, que fluctua de forma aleatoria, se encuentren valores sesgados que aparentemente se alejan bastante del valor esperado, y pueden influir de forma apreciable en el valor esperado y su incertidumbre. Por ejemplo, en la Figura 8.1, el segundo y último dato de intensidad de sonido se aleja de forma importante del valor esperado, y parecen haber incrementado la incertidumbre del resultado de forma importante: visualmente uno esperaría una incertidumbre inferior a \(1\,\text{dB}\), pero se obtuvo una incertidumbre de \(3\,\text{dB}\). La pregunta que surge es ¿puedo quitar estos valores de mis datos para que no modifiquen mi resultado? Como se parte de la premisa de que los datos sesgados corresponden a la influencia de un evento ajeno al fenómeno estudiado, la directriz a seguir es volver a tomar los datos experimentales.
Figura 8.1 Intensidad del sonido de una máquina de afeitar, en decibeles. El valor más probable de intensidad de sonido es \((73\pm 3)\,\text{dB}\).#
Pero habrá ocasiones en que no es posible volver a realizar el experimento. Para estos casos se usa el criterio de Chauvenet. Partiendo de la premisa de que los datos siguen una distribución normal, este criterio analiza que tan probable es obtener el valor sesgado para el número de datos medidos. El procedimiento a seguir es el siguiente:
Elegir el número de desviaciones \(n\) a partir del cuál consideramos los datos como sesgados. En consonancia con lo presentado en la Tabla 6.7, se recomienda tomar \(n = 2.5\).
Determinar el valor esperado \(\bar x\) y la desviación estándar \(s\) de la distribución de datos.
Determinar los \(x_i\) valores que cumplen la condición de valor sesgado: \(|x_i - \bar x| > ns\).
Para cada \(x_i\) calcular la probabilidad de medir un valor \(x\) que se encuentre igual o más alejado del valor esperado que \(x_i\): \( P_i = 1- P(\bar x - x_i \leq x \leq \bar x + x_i) \).
Para cada \(x_i\) calcular el número de veces \(N_i\) que se espera encontrar un valor como este en un experimento con \(N\) datos: \( N_i = N\times P_i \).
Si \(N_i < 0.5\), el valor \(x_i\) se descarta.
Se vuelve a determinar el valor esperado \(\bar x\) y la desviación estándar \(s\) con los datos restantes.
Para el ejemplo de la Figura 8.1 se tiene:
\(n = 2.5\).
\(\bar x = 73\,\text{dB}\) y \(s = 3\,\text{dB}\).
Los valores que cumplen son \(57.88\,\text{dB}\) en \(t_1 = 28.89\,\text{s}\), y \(65.12\,\text{dB}\) en \(t_2 = 33.15\,\text{s}\)
Probabilidades: \(P_{t_1} = 1.8\times 10^{-8}\) y \(P_{t_2} = 0.0035\).
\(N_i\): \(N_{t_1} = 7.9\times 10^{-9}\) y \(N_{t_2} = 0.16\).
Ambos valores son menores a \(0.5\), por lo que ambos se descartan.
\(\bar x = 73.4\,\text{dB}\) y \(s = 0.4\,\text{dB}\).
En la Figura 8.2 se pueden observar los datos luego de descartar los valores sesgados. Es claro como ambos valores estaban aumentando de forma considerable la incertidumbre. Igualmente, estaban desplazando el valor más probable de intensidad de sonido hacia un valor inferior al finalmente reportado[2].
Figura 8.2 Intensidad del sonido de una máquina de afeitar, en decibeles. Se eliminaron los valores sesgados \(57.88\,\text{dB}\) en \(t_1 = 28.89\,\text{s}\) y \(65.12\,\text{dB}\) en \(t_2 = 33.15\,\text{s}\). El valor más probable de intensidad de sonido es \((73.4\pm 0.4)\,\text{dB}\).#
A continuación se comparte un código ejemplo para determinar los valores sesgados:
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import numpy as np
###############################
criterio = 2.5 # Criterio para considerar un valor como sesgado
datat = np.array([28.791, 28.893, 28.994, 29.096, 29.197, 29.299, 29.4 , 29.501,
29.602, 29.703, 29.804, 29.906, 30.007, 30.108, 30.21 , 30.311,
30.413, 30.515, 30.616, 30.717, 30.818, 30.92 , 31.021, 31.122,
31.224, 31.325, 31.426, 31.528, 31.629, 31.73 , 31.832, 31.933,
32.034, 32.136, 32.236, 32.338, 32.439, 32.54 , 32.642, 32.743,
32.844, 32.945, 33.046, 33.147]) # Valores ejemplo: intensidad sonido
dataB = np.array([73.79, 57.88, 73.2 , 73.44, 73.27, 72.87, 73.74, 73.55, 73.64,
73.81, 73.48, 73.94, 73.57, 73.57, 73.84, 73.9 , 73.71, 73.67,
73.24, 73.28, 72.76, 73.98, 73.65, 73.81, 73.87, 73.75, 73.91,
73.72, 73.51, 73.71, 73.58, 73.44, 73.3 , 73.2 , 73.28, 73.37,
73.16, 73.08, 72.93, 71.72, 72.77, 73.15, 73.15, 65.12]) # Valores ejemplo: tiempo
###############################
import pylab as plt
plt.rcParams.update({'font.size':18})
from scipy.stats import norm
media = np.mean(dataB)
desv = np.std(dataB,ddof=1)
disper = abs(dataB-media)
ubica = []
valor = []
valC = []
for ii in range(len(disper)):
if(np.max(disper[ii])>criterio*desv):
ubica.append(ii)
valor.append(dataB[ii])
prob = 2*norm.sf(media + abs(dataB[ii]-media),loc=media,scale=desv)
valC.append(len(dataB)*prob)
ubica = np.asarray(ubica)
for ii in range(len(valC)):
if(valC[ii] < 0.5):
dataB = np.delete(dataB,ubica[ii])
datat = np.delete(datat,ubica[ii])
ubica = ubica - 1
print('El valor {} fue eliminado porque valC = {}'.format(valor[ii],valC[ii]))
media = np.mean(dataB)
desv = np.std(dataB,ddof=1)
fig,ax = plt.subplots(1,figsize=(12,6))
ax.plot(datat,dataB,color='gray',marker='.',ms='10',markerfacecolor='k')
ax.set_xlabel('tiempo/s')
ax.set_ylabel('Intensidad sonido/dB')
#plt.savefig('imagenes/sonido-chauvenet.svg')
plt.show()
# valor esperado y desviación estándar
media = np.mean(dataB)
desv = np.std(dataB,ddof=1)
print('media = {} dB y desv = {} dB'.format(media,desv))
El valor 57.88 fue eliminado porque valC = 7.859630219943293e-07
El valor 65.12 fue eliminado porque valC = 0.15610182593501906
media = 73.43595238095239 dB y desv = 0.4255444691663788 dB
Nota
La elección del valor \(0.5\) como criterio para decidir si un valor sesgado se descarta o no, es arbitrario. No obstante, se puede justificar que al ser el número de eventos posibles un número entero, si nuestro resultado está entre \(0.5\) y \(0.9\), hemos convenido aproximarlo a la unidad para que sea un valor entero. Luego, estadísticamente era de esperarse que el valor sesgado apareciera en una medición, por lo que no se puede descartar.
Advertencia
Para poder aplicar el criterio de Chauvenet hay que estar seguros que la distribución de los datos es normal. Dado que la aplicación del criterio modifica el valor esperado, y en especial la desviación estándar, sólo se recomienda aplicarlo una sola vez, sin importar que con el nuevo valor esperado y desviación estándar nuevos valores cumplan el criterio.
Ver también
Para leer más sobre el criterio de Chauvenet consultar la sección 3.3.2 de [Hughes and Hase, 2010], la sección 6.2 de [Taylor, 1996], o la página 56 de [Bevington and Keith, 2001].