6.2. Incertidumbre estándar

En la Sección 6.1 se estableció que el teorema del límite central afirma que, al considerar un número \(N\) de datos, determinar su media y repetir este procedimiento múltiples veces, la media de la nueva distribución (de las medias calculadas) se aproxima a la media de la distribución original con una desviación estándar que disminuye a razón de \(1/\sqrt{N}\).

Dado que el objetivo es determinar la media de la distribución original con la menor incertidumbre posible, este procedimiento es teóricamente adecuado. No obstante, su limitación principal es la practicidad: requiere repetir el experimento en numerosas ocasiones, lo cual puede ser costoso o imposible. Surge entonces la pregunta: ¿es posible aplicar el teorema del límite central realizando un único experimento con una sola toma de datos? La respuesta es afirmativa.

Como ejemplo, suponga un experimento donde la cantidad física sigue una distribución uniforme (Figura 6.1) con \(\mu = 2.100\) y \(\sigma = 0.500\). Primero, consideremos que se mide 35 veces (\(N = 35\)), se calcula el promedio, y este proceso se repite diez veces (\(n = 10\)). Con estos diez promedios, se obtiene una media \(\bar{x} = 2.108\) y una desviación estándar de la media \(s_m = 0.09\).

En segundo lugar, supongamos que se realiza un único experimento (\(n = 1\)) con \(N\) mediciones. Para estos datos, se determina el promedio y se calcula la desviación estándar de la media como \(s/\sqrt{N}\)[1]. En la Figura 6.2 y la Tabla 6.2 se observan los resultados para distintos valores de \(N\) y \(n\). Es evidente que todos los casos predicen el valor «exacto» de la media dentro del rango de incertidumbre (barras horizontales).

Figura 6.2 Efecto del número de medidas en el experimento.

Para los casos en que el experimento se realizó en múltiples ocasiones (\(n=6, 10\)), es evidente que los valores de la distribución (puntos azules) presentan una mayor agrupación alrededor de la media. Este comportamiento es previsible, ya que cada uno de estos valores representa el promedio de un experimento independiente. De hecho, a medida que el tamaño de la muestra \(N\) en cada experimento aumenta, se espera que dichas medias se concentren con mayor precisión en torno al valor real.

Por otro lado, en los casos de un único experimento (\(n=1\)), la dispersión de los datos individuales tiende a mantenerse. No obstante, conforme el número de datos \(N\) crece, la media muestral se aproxima con mayor fidelidad al valor real, y la desviación estándar de la media (\(s/\sqrt{N}\)) converge hacia la desviación estándar poblacional predicha por el teorema del límite central. Este fenómeno se hace evidente al comparar los casos correspondientes a (\(n=1, N=35\)) y (\(n=10, N=35\)).

Tabla 6.2 Efecto del número de medidas en el experimento.

«Exacta»	\(\mu = 2.100\)	\(\sigma = 0.500\)
\(N = 35\), \(n = 10\)	\(\bar x = 2.11\)	\(s_m = 0.09\)
\(N = 5\), \(n = 6\)	\(\bar x = 2.03\)	\(s_m = 0.11\)
\(N = 5\)	\(\bar x = 2.2\)	\(s/\sqrt{5} = 0.3\)
\(N = 15\)	\(\bar x = 2.03\)	\(s/\sqrt{15} = 0.11\)
\(N = 25\)	\(\bar x = 2.03\)	\(s/\sqrt{25} = 0.11\)
\(N = 35\)	\(\bar x = 2.15\)	\(s/\sqrt{35} = 0.09\)

Conclusión: es valido hacer una única serie de \(N\) medidas de la variable aleatoria \(X\), y reportar el resultado de la cantidad medida como

(6.1)\[ X = \bar x \pm \frac{s}{\sqrt N} , \]

donde

(6.2)\[\bar x = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} ,\]

y

(6.3)\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar x)^2}{N-1} . \]

El término \(\bar x\) se le llama mejor estimación de la cantidad medida[2],y el término \(\frac{s}{\sqrt N}\) se le conoce como incertidumbre estándar[3].

El factor \(1/\sqrt{N}\) indica que la precisión aumenta con el número de medidas. Sin embargo, como se observa en la Figura 6.3, al tratarse de una relación asintótica, existe un punto de rendimientos decrecientes: el esfuerzo de realizar más mediciones no se traduce en una mejora significativa de la precisión.

Figura 6.3 Efecto del factor \(1/\sqrt{N}\) sobre la precisión.

En la Figura 6.3 se puede apreciar que algunas veces el valor más probable obtenido se puede alejar del valor «exacto» aunque estemos aumentando el número de medidas. Igualmente, para el caso de la incertidumbre estándar, puede ocurrir que aumente aún cuando se realizan más medidas. Se debe recordar que la variable es aleatoria, y por lo tanto, puede darse el caso de que aún al medir más veces, los valores medidos se alejen más del valor «exacto», o no se distribuyan uniformemente alrededor del valor «exacto», provocando que la media obtenida se aleje del mismo o que la incertidumbre estándar aumente: es una cuestión de azar.

Advertencia

Pero tenga en cuenta que en la mayoría de los casos, de mayor interés, se desconoce cuál es el valor «exacto». Entonces, lo importante es poder garantizar, con cierto nivel de confianza, que el intervalo definido contiene el valor «exacto».

Hazlo tu mismo

Si quieres cambiar los parámetros de la Figura 6.2 para ver como pueden cambiar los resultados en virtud de la aleatoriedad, puedes usar el código que te presentamos a continuación en la ventana desplegable.

Show code cell content Hide code cell content

###################
media = 2.1    # media de la distribución original
desv = 0.5     # desviación estándar de la distribución 
semilla = 5    # semilla para el generador de valores aleatorios
N = 35         # Total de medidas por vez
n = 10         # Veces que se repite el total de medidas
##################

import numpy as np
import pylab as plt
plt.rcParams['errorbar.capsize'] = 5
plt.rcParams.update({'font.size': 18})
fig,ax = plt.subplots(1,figsize=(16,6))

def pdfUniform(media,desv):
    b = media + np.sqrt(12)*desv/2
    a = 2*media - b
    pdf = 1/(b-a)
    return a,b,pdf

#Intervalo de la distribución
a,b,pdfUni = pdfUniform(media,desv)
ax.vlines(media,-6,N+1,ls='--',color='r')
ax.set_xlabel('Media')

#Repetición del experimento n veces
np.random.seed(semilla)
newDist = []
for ii in range(n):
    newDist.append(np.mean(np.random.uniform(a,b,size=N)))

newDist_m = np.mean(newDist)
newDist_s = np.std(newDist,ddof=1)/np.sqrt(N)
ax.errorbar(newDist_m,-5,xerr=newDist_s,fmt='o',color='k')

print('Distribución original: media = {:.4f}, desv = {:.4f}'.format(media,desv))
print('Nueva distribución: {:.4f} +/- {:.4f}'.format(newDist_m,newDist_s))

#procedimiento práctico
np.random.seed(semilla)
for ii in range(5,N+1,10):
    vals = np.random.uniform(a,b,size=ii)
    Prac_m = np.mean(vals)
    Prac_s = np.std(vals,ddof=1)/np.sqrt(ii)
    print('Para {} datos: {:.4f} +/- {:.4f}'.format(ii,Prac_m,Prac_s))
    ax.errorbar(Prac_m,ii,xerr=Prac_s,fmt='o',color='k')

#ax.set_yticks(range(-5,N+1,10),['$N = 35$, $n = 10$','$N = 5$','$N = 15$', '$N = 25$', '$N = 35$'])
plt.show()

Distribución original: media = 2.1000, desv = 0.5000
Nueva distribución: 2.1078 +/- 0.0151
Para 5 datos: 2.1715 +/- 0.2648
Para 15 datos: 2.0275 +/- 0.1080
Para 25 datos: 2.0281 +/- 0.1184
Para 35 datos: 2.1505 +/- 0.0885

6.2.1. Ejemplo altura mesa: usando la incetidumbre estándar

Recordando el ejemplo de la altura de la mesa realizado en la Sección 3.5.1, los tiempos medidos por el estudiante fueron

Tabla 6.3 Tiempos de caída en centésimas de segundo.

44

53

47

47

46

50

53

Usando la ecuación (6.2), el tiempo de caída más probable es \(0.4857\,\text{s}\). Calculando la raiz cuadrada de la ecuacion (6.3), se obtiene una incertidumbre estándar de \(0.01325\,\text{s}\). Por lo tanto, el valor de tiempo de caída obtenido es: \( t = (0.486 \pm 0.013) \ \text{s} \).

Nota

La diferencia en la incetibumbre con respecto al valor obtenido con el método rápido de la Sección 3.5.1 fue de tan solo \(15\,\%\). Esta es una diferencia razonable, validando el uso del método rápido como un buen estimador de la incertidumbre, en especial para tomarlo como una primera aproximación.

Ver también

Para leer más sobre incertidumbre estándar mirar la sección 2.7 de [Hughes and Hase, 2010], secciones 4.4 y 5.6 de [Taylor, 1996], secciones 4.1 y 4.3 de [Bevington and Keith, 2001], sección 1.4.2 de [Mahecha, 2009] y secciones 3.3 y 3.4 de [Squires, 2001].

---

[1]

Por claridad, se recuerda que \(N\) corresponde al número de datos en un experimento, mientras que \(n\) se refiere al número de experimentos realizados. Por otro lado, recuerde que \(\sigma\) es la desviación estandar de la población (\(N \to \infty\)), mientras que \(s\) es la desviación estándar obtenida de una muestra, de la población, que tiene \(N\) datos.

[2]

Otros nombres usados son valor más probable, valor esperado y valor nominal.

[3]

También se le conoce como «desviación estándar de la media» o «error estándar».