7.2. Método de ajuste no lineal#
Hasta ahora se ha visto como ajustar datos experimentales a un modelo lineal, pero es común encontrarse con datos experimentales que se ajustan a una función nolineal que no se puede linearizar. La teoría para el ajuste nolineal está fuera del alcance de estas notas, por lo que se recomienda a quien esté interesado la lectura del capítulo 7 de [Hughes and Hase, 2010]. Esta sección se limitará a presentar un programa de Python con el que se puede resolver computacionalmente este tipo de problemas. El programa que se usa se encuentra en la librería scipy.optimize, y se llama curve_fit. Para entender su funcionamiento básico se resolverá el problema de la Sección 4.1.1, directamente, sin linearizar.
En primer lugar se generan arreglos con el tiempo t, el desplazamiento x, y la incertidumbre en la posición e. Seguidamente se determina la incertidumbre en el desplazamiento ex, y se construye la gráfica (Figura 7.2).
import numpy as np
import pylab as plt
plt.rcParams.update({'font.size': 16})
# Datos tiempo y posición
t = np.array([2.43,2.48,2.58,2.68,2.79,2.88,3.02,3.29,3.43,3.58,3.77]) - 2.32 # tiempo en segundos
x = np.array([17.0,21.0,27.0,34,40,47,55,69,78,85,93]) - 9.5 # posición en centímetros
e = np.array([0.5,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1,1,1,1])*2 # Error estimado en la posición
## Determinación del error del desplazamiento
despM = x + 2*e
despm = x - 2*e
ex = abs(despM - despm)/2
#print('ex = {}'.format(ex))
#Graficación
plt.figure(figsize=(16,8))
plt.errorbar(t,x,yerr=ex,fmt='.',ms= 10,capsize=8,ecolor='r',color='k')
plt.ylabel('Posición/cm')
plt.xlabel('Tiempo/s')
plt.show()
Show code cell output
Figura 7.2 Variación del desplazamiento en función del tiempo, para una esfera de vidrio rodando en un piso de caucho.#
Para el ajuste, primero se importa la función curve_fit y se define la función no lineal de ajuste desacelerar. Se ejecuta la función curve_fit, que requiere como parámetros, la función de ajuste desacelerar, el tiempo t, los desplazamientos x, y la incertidumbre en los desplazamientos ex. Los valores obtenidos para los parámetros de velocidad inicial v0 y aceleración a, se almacenan en el arreglo popt. El cuadrado de las incertidumbres de los parámetros se almacenan en la diagonal del arreglo pcov. Finalmente, se calcula la incetidumbre de los parámetros error, y se grafica nuevamente, incluyendo el ajuste nolineal (ver Figura 7.3).
# Se importa la función curve_fit
from scipy.optimize import curve_fit
# Se define la función del modelo nolineal
def desacelerar(t,v0,a):
return v0*t + a*t**2/2
# Se ejecuta curve_fit y se determinan las incertidumbres de los parámetros. Se imprimem en pantalla
popt,pcov = curve_fit(desacelerar,t,x,sigma=ex)
error = np.sqrt(np.diag(pcov))
print('popt',popt,'\nerror',error)
# Se construye una nueva gráfica incluyendo el ajuste
plt.figure(figsize=(16,8))
plt.errorbar(t,x,yerr=ex,fmt='.',ms= 10,capsize=8,ecolor='r',color='k')
plt.ylabel('Posición/cm')
plt.xlabel('Tiempo/s')
plt.plot(t,desacelerar(t,*popt),'b')
plt.show()
Show code cell output
popt [ 70.95772209 -18.01138765]
error [0.7066468 1.26175259]
Figura 7.3 Variación del desplazamiento en función del tiempo, para una esfera de vidrio rodando en un piso de caucho. Se incluye el ajuste no lineal de la función \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\), con parámetros \(a = - 18.0\,\text{cm/s}^2\) y \(v_0 = 71.0\,\text{cm/s}\).#
El ajuste no lineal con curve_fit nos entrega una aceleración igual a \(a = (-18.0 \pm 1.3)\,\text{cm/s}^2\). Este valor concuerda con la aceleración obtenida usando mínimos cuadrados con pesos, en la función linearizada, pero ahora con una mayor precisión.