Cifras significativas y redondeo de cifras

Contenido

1.3. Cifras significativas y redondeo de cifras#

La palabra «cifras» no debería generar ninguna duda en el contexto de este libro: dada una cantidad física cualquiera, las cifras de dicha cantidad corresponden al valor numérico de las unidades, decenas, centenas, miles, etc. Por ejemplo, sea la cantidad $1 \, 978$, se puede identificar que está compuesta de cuatro cifras, $8$ en las unidades, $7$ en las decenas, $9$ en las centenas, y $1$ en los miles. Por otro lado, la palabra «significativas» es muy posible que no se entienda, en un primer momento, en el contexto de este libro. Así que comenzaremos con un ejemplo: suponga que usted en el bolsillo tiene un billete de $\$50 \, 000$ pesos, uno de $\$2 \, 000$ pesos, una moneda de $\$100$ pesos, y una moneda de $\$50$ pesos, para un total de $\$52 \, 150$ pesos. Si un amigo le preguntara cuanto dinero tiene para ver si pueden ir a cine, muy probablemente usted le diga a su amigo que tiene $\$52 \, 000$ pesos, porque para poder pagar la boleta del cine los $\$150$ no aportan realmente nada, ni suman, ni restan, no son significativos, es decir, las cifras significativas son los $5$ diez miles, y los $2$ miles. Otro ejemplo, muy típico con el uso de calculadoras y computadoras, sería que le dijeran que debe dar $\$30 \, 000$ pesos para el total de $\$83 \, 000$ pesos que vale el ingreso de todos al cine. Usted por curiosidad decide calcular a que porcentaje equivale lo que debe de aportar y la calculadora le entrega el valor $36.144 \, 578 \, 31 \, \%$. Muy probablemente usted le informe a los demás que le ha tocado pagar el $36 \, \%$ del valor total, porque ninguno de los números decimales tiene alguna relevancia en este contexto, no son significativos.

1.3.1. Cifras significativas#

Se llamará cifras significativas a los números de una cantidad física que realmente tienen una relevancia (significado) en el contexto de la situación en la que se presenta. Para identificar el número de cifras significativas que tiene una cantidad física reportada se siguen las siguientes reglas:

Todos las cifras diferentes de cero son significativas: $1 \, 978$ tiene cuatro cifras significativas.
Todas las cifras iguales a cero que estén entre cifras diferentes de cero serán significativas: $1 \, 078$ tiene cuatro cifras significativas.
Todos las cifras iguales a cero que estén a la izquierda de la primer cifra diferente de cero NO son significativas: $0.019 \, 78$ y $0.010 \, 78$ tienen cuatro cifras significativas.
Todas las cifras iguales a cero, que sean decimales, y estén en el extremo derecho son significativas: $0.019 \, 0$ y $1.070$ tienen tres y cuatro cifras significativas, respectivamente.
Para indicar que una cantidad sin decimales con un cero en el extremo derecho es significativo se debe usar el punto decimal: $1 \, 970.$ tiene cuatro cifras significativas, mientras que $1 \, 970$ tiene tres cifras significativas.

Cuando existan dudas del número de cifras significativas la mejor opción es escribir la cantidad en notación científica, procurando que el único número no decimal sea diferente de cero. Para los ejemplos anteriores se tiene:

$1 \, 978 =1.978\times 10^{3}$.
$1 \, 078 = 1.078\times 10^{3}$.
$0.019 \, 78 = 1.978\times 10^{-2}$ $~~$ y $~~$ $0.010 \, 78 = 1.078\times 10^{-2}$.
$0.019 \, 0 = 1.90\times 10^{-2}$ $~~$ y $~~$ $1.070 = 1.070\times 10^{0}$.
$1 \, 970. = 1.970\times 10^{3}$ $~~$ y $~~$ $1.97\times 10^{3}$.

1.3.2. Redondeo#

Recordando el porcentaje $36.144 \, 578 \, 31 \, \%$ calculado en la introducción de la Sección 1.3, allí se tomó la decisión de solo presentar dos cifras significativas, es decir, que solo se reportarían las cifras hasta las unidades, $36 \, \%$. Es claro que al tomar la decisión de eliminar el resto de cifras se puede estar perdiendo información, y por lo tanto se debe tomar una decisión sobre aumentar o no la última cifra (correspondiente a la unidad para el ejemplo: en este caso el número $6$). Este proceso se conoce como redondeo y sigue las siguientes reglas:

La última cifra que se mantiene no se modifica si la siguiente cifra es menor que $5$: $36.144$ con dos cifras significativas queda $36$.
La última cifra que se mantiene se aumenta en una unidad si la siguiente cifra es mayor que $5$: $36.844$ con dos cifras significativas queda $37$.

Para el caso en que la siguiente cifra de la que se va a mantener es $5$, se deben considerar todas las cifras restantes y actuar bajo las siguientes reglas:

Si la siguiente cifra a la que se va a retener es un $5$ seguido de ceros, la última cifra que se mantiene no se modifica si es par, por ejemplo: $36.500$ con dos cifras significativas queda $36$. Nota: el cero se considera número par, es decir, $30.500$ queda como $30$.
Si la siguiente cifra a la que se va a retener es un $5$ seguido de ceros, la última cifra que se mantiene se aumenta en una unidad si es impar, por ejemplo: $31.500$ con dos cifras significativas queda $32$.
Si la siguiente cifra a la que se va a retener es un $5$ seguido de algún número diferente de cero, la última cifra que se mantiene se aumenta en una unidad , por ejemplo: $36.501$ con dos cifras significativas queda $37$.

Nota

Si se considera el caso del redondeo como la decisión de aumentar o no en una unida una determinada cifra en virtud de la cifra que está a su derecha y que no será reportada, y recordando que solo se tienen dos opciones, sumar cero o sumar uno. Cuando la cifra que está a la derecha está entre $0$ y $4$ se puede decir que está más cerca del extremo inferior, por lo que se suma cero y la cifra que permanece no se modifica. Cuando la cifra que está a la derecha está entre $6$ y $9$ se puede decir que está más cerca del extremo superior, por lo que se suma uno y la cifra que permanece se modifica en una unidad. Por otro lado, cuando la cifra que está a la derecha es $5$ no es claro que hacer porque está a la misma distancia de ambos extremos. Si siempre se suma uno o siempre se suma cero, se puede estar generando un error sistemático en los datos a través de un sesgo (bias). Es por esto que se opta por sumar cero o uno dependiendo de si la cifra que permanece es par o impar. Así, se espera que la mitad de las veces sume uno y la otra mitad de las veces sume cero, tal que para una gran cantidad de datos el posible sesgo tienda a cero.

1.3.3. Operaciones con cantidades con diferente número de cifras significativas o decimales#

En algunas ocasiones es necesario realizar operaciones de suma o multiplicación entre cantidades que difieren en su número de cifras significativas o en su número de decimales. Una vez efectuada la operación, surge la pregunta fundamental de cuáles cifras del resultado pueden considerarse significativas y, por tanto, reportarse.

Para analizar esta situación utilizaremos un método propuesto por Mahecha [Mahecha, 2009]. Supongamos que deseamos sumar las cantidades $4.15$ y $2.6$, las cuales presentan diferente número de cifras significativas y de decimales. Procedemos a escribir la operación de la siguiente manera:

\[\begin{split} \begin{array}{r} 4.15? \\ +\ 2.6?? \\ \hline 6.7?? \end{array} \end{split}\]

donde el signo de interrogación $?$ indica que el valor de esa cifra es completamente desconocido. Según esta representación, aunque conocemos el valor del segundo decimal de $4.15$, dicho nivel de información no está disponible para el resultado de la suma, pues en $2.6$ solo conocemos hasta el primer decimal. En consecuencia, el resultado de la suma solo puede reportarse con un decimal.

Regla de la suma: Cuando se suman cantidades con diferente número de decimales, se realiza la suma completa y el resultado se reporta con el mismo número de decimales que la cantidad con menor número de decimales. Al resultado se le aplican las reglas de redondeo.

Para el ejemplo anterior se tiene: $ 4.15 + 2.6 = 6.75 \approx 6.8. $

Consideremos ahora un caso especial: las cantidades $23$, con dos cifras significativas, y $40$, con una cifra significativa. Para aplicar correctamente la regla es conveniente proceder de la siguiente manera:

\[ 23 + 40 = 2.3\times 10 + 4\times 10 = (2.3 + 4)\times 10 = 6.3\times 10 \approx 6\times 10 = 60. \]

Note que se emplea notación científica para expresar de forma no ambigua las cifras significativas de ambas cantidades antes de aplicar la regla de la suma.

Supongamos ahora que deseamos multiplicar las cantidades $6.7$ y $8.23$, que difieren en su número de cifras significativas y de decimales. Repitiendo el procedimiento utilizado para la suma, tenemos:

\[\begin{split} \begin{array}{r} 6.7?? \\ \times\ 8.23? \\ \hline ???? \\ 201??\;\ \\ 134??\;\ \;\ \\ 536??\;\ \;\ \;\ \\ \hline 55.1????? \end{array} \end{split}\]

Lo cuál nos dice que podemos reportar $55.1?$ con tres cifras significativas. La pregunta que surge es ¿Cuántas cifras significativas puedo reportar?. Para entender lo que sucede veamos los siguientes resultados:

$1.234? \times 2.000? = 2.468?$
$1.234? \times 2.00? = 2.46?$
$1.234? \times 2.0? = 2.4?$
$3.12? \times 1.0? = 3.1?$
$3.12? \times 2.0? = 6.2?$
$3.12? \times 3.0? = 9.3?$
$3.12? \times 4.0? = 12.4?$
$9.99? \times 9.99? = 99.79?$
$99.9? \times 0.99? = 97?$

EN CONSTRUCCIÓN

Regla de la multiplicación: Cuando se multiplican cantidades con diferente número de cifras significativas, se realiza la multiplicación completa y el resultado se reporta con el mismo número de cifras significativas que la cantidad con menor número de cifras significativas. Al resultado se le aplican las reglas de redondeo.

Para los ejemplos anteriores sería:

\[ 6.7 \times 8.23 = 55.141 \approx 55 \]

\[ 4.10 \times 2.3 = 9.43 \approx 9.4 \]

Advertencia

Redondeo intermedio: Cuando una operación involucra más de una multiplicación o más de una suma, es recomendable realizar el redondeo únicamente al final del cálculo con el fin de evitar la introducción de errores de redondeo acumulados.

Por ejemplo: sea la operación con números exactos $a\times b/c = \pi\times\pi/\text{e} = 3.630\, 824\, 55 ...$

Supongamos ahora que solo conocemos aproximaciones: $a = 3.14$, $b=3.1416$ y $c=2.718$.

Aplicando la regla de multiplicación para cantidades con cifras significativas:

(a) Si primero se multiplica $a\times b$ y se divide por $c$, se obtiene $3.63$.

(b) Si primero se divide $a/c$ y luego se multiplica por $b$, se obtiene $3.64$.

La diferencia entre ambos resultados se debe exclusivamente al redondeo intermedio. En contraste, si se realizan todas las operaciones sin redondear y solo al final se ajusta el resultado al número correcto de cifras significativas, se obtiene $3.63$, en concordancia con el valor exacto.

Finalmente, puede mostrarse mediante el mismo método sugerido por [Mahecha, 2009] que en operaciones que involucren simultáneamente sumas y multiplicaciones, las reglas anteriores deben aplicarse paso a paso, respetando el orden de las operaciones. Para operaciones distintas de la suma y la multiplicación, es necesario realizar un análisis específico que permita determinar cuántas cifras significativas deben reportarse en el resultado.

Advertencia

Cuando se trabaje con cantidades que tienen incertidumbre será dicha incertidumbre la que defina el número de cifras significativas de la cantidad física.

Ver también

Más sobre cifras significativas y redondeo se puede encontrar en la sección 2.8 de [Hughes and Hase, 2010], sección 1.1 de [Bevington and Keith, 2001], sección 1.5 de [Mahecha, 2009] y [National Institute of Standards and Technology, 2019].