Ejercicios

5.4. Ejercicios#

Distribución normal

1. (a) Con base en las definición de función de densidad de probabilidad normal, escriba la expresión para la probabilidad entre los valores \(-k\sigma\) y \(k\sigma\), donde \(k\) es un número real. (b) Escriba la expresión de la parte (a) en términos de la función integral, usando la transformación \(z = (x-\mu)/\sigma\). (c) Aunque ya no es común, anteriormente se reportaba la incertidumbre con una confiabilidad del \(50\,\%\), y se le conocía como error probable. Determine numéricamente el valor de \(k\) para una probabilidad del \(50\,\%\) (utilice la regla compuesta del trapezoide para calcular numéricamente la integral). (d) Grafique la función integral para el rango de \(k\) igual a \([0,5]\). (e) Determine aproximadamente el número de intervalos necesarios, en la regla compuesta del trapezoide, para que con \(k=3\), la probabilidad sea \(99.7\,\%\) (con tres cifras significativas).

Distribución Poisson

2. A un estudiante se le pide que mida el promedio de partículas que emite una muestra de cobalto-56 en un tiempo de \(10\,\text{s}\). El estudiante ubica un detector Geiger-Muller a una distancia de \(2\,\text{cm}\) de la muestra y realiza las mediciones (Los datos se entregan como un arreglo de Python en la parte de abajo, cada posición corresponde al número de partículas detectadas en el intervalo, y el valor en la posición corresponde al número de veces que se repitió dicho número de partículas detectadas). El estudiante debe hacer lo siguiente: (a) Realizar un histograma de los datos graficando el número de repeticiones. (b) Suponiendo que los datos siguen una distribución de Poisson, calcular la media, desviación estándar y el número total de medidas hechas. (c) Reportar correctamente el promedio de partículas en el intervalo definido, y la razón promedio de partículas en un segundo. (d) Realizar el histrograma de fracciones, y superponer una función densidad de probabilidad de Poisson que tenga los mismos parámetros, ¿visualmente coinciden?. (e) La probabilidad de detectar al menos 5 partículas, y la probabilidad de que al menos en una ocasión, de todas las mediciones, no se detecte ninguna partícula. (f) Repetir el numeral (d) pero superponiendo una función densidad de probabilidad normal.