9.3. Ejercicios

Residuos

1. Recordando el problema 2 de la Sección 7.4 que decía: usando el método de z-scan usted mide en el laboratorio la transmitancia de la luz cuando un pulso láser atraviesa una muestra de un material semiconductor. Los parámetros del experimento son:

• Espesor de la muestra: \(L = 1\,\text{mm}\)

• Irradiancia del láser en la muestra: \(I_0 = 1\,\text{TW/m}\)

• Longitud de onda del láser: \(\lambda = 780\,\text{nm}\)

• Tamaño del spot láser: \(w_0 = 65\,\mu\text{m}\)

Sabiendo que el modelo que predice la transmitancia \(T\) está dado por la expresión

\[T = 1 - \frac{\beta I_0 L}{2\sqrt 2} \Bigg(1 + \bigg(\frac{z}{z_0}\bigg)^2\Bigg)^{-1} ,\]

donde \(z_0 = kw_0^2\), \(k = 2\pi/\lambda\), y \(\beta\) es el coeficiente de absorción no lineal. (a) Realice un ajuste no lineal para determinar \(\beta\), determine los residuos normalizados y realice una gráfica. (b) A partir de la posición de los residuos, ¿puede decir que se distribuyen aleatoriamente alrededor del cero?. (c) ¿Puede decir si se distribuyen según una distribución normal? A continuación se presentan los datos de transmitancia (datos) y la posición (z).

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import numpy as np
datos = np.array([1.00107518, 1.00146765, 0.99886514, 0.99659094, 0.9997498 ,
       1.00061351, 1.00256587, 1.00223257, 0.99864485, 0.99819449,
       0.99568751, 0.99315836, 0.98915297, 0.98957013, 0.97418306,
       0.97432637, 0.98315578, 0.99412608, 0.99277016, 0.99736102,
       0.99700683, 1.00019505, 0.99880234, 0.9977386 , 1.00024404,
       1.00130404, 1.00069017, 1.00124834, 0.9994404 , 1.00003864])

z = np.array([-0.3       , -0.27931034, -0.25862069, -0.23793103, -0.21724138,
       -0.19655172, -0.17586207, -0.15517241, -0.13448276, -0.1137931 ,
       -0.09310345, -0.07241379, -0.05172414, -0.03103448, -0.01034483,
        0.01034483,  0.03103448,  0.05172414,  0.07241379,  0.09310345,
        0.1137931 ,  0.13448276,  0.15517241,  0.17586207,  0.19655172,
        0.21724138,  0.23793103,  0.25862069,  0.27931034,  0.3])

2. En el ejemplo de la Sección 9.2.3 se realizó un ajuste lineal a los datos experimentales suponiendo que la posición es proporcional al tiempo tal que \(x = v_0 t\), donde la velocidad encontrada por medio del ajuste fue \(v_0 = 61.5 \, \text{cm/s}\). La prueba de chi-cuadrado arrojó que no había evidencia para decir que este modelo lineal no se ajusta a los datos experimentales, pero también dijo lo mismo para un modelo no lineal. Realice una gráfica de residuos normalizados, analice la gráfica, y concluya si el modelo lineal efectivamente se puede ajustar a los datos experimentales. A continuación se presentan los datos de posición (x), tiempo (t) e incertidumbre en la posición (e).

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import numpy as np

# Datos tiempo y posición
t = np.array([2.43,2.48,2.58,2.68,2.79,2.88,3.02,3.29,3.43,3.58,3.77]) - 2.32 # tiempo en segundos
x = np.array([17.0,21.0,27.0,34,40,47,55,69,78,85,93]) - 9.5 # posición en centímetros
e = np.array([0.5,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1,1,1,1])*2 # Error estimado en la posición

Prueba de chi-cuadrado para ajuste de curva

3. Para los datos del punto 1. (a) calcule el valor del parámetro \(\chi^2_{min}\), (b) calcule el número de grados de libertad, (c) y determine la probabilidad de obtener un \(\chi^2\) igual o superior al calculado, ¿la hipótesis de que los datos se ajustan a la transmitancia normalizada de z-scan debe ser rechazada?

Prueba de chi-cuadrado para histogramas

4. En el ejemplo de la Sección 5.3.3 se encontró una distribución que se cree corresponde a una distribución de Poisson. (a) Usando la prueba de chi-cuadrado, construya tres intervalos y verifique si dicha hipótesis es cierta. (b) Construya ahora cuatro intervalos y vuelva a verificar si la hipótesis es cierta.